本發(fā)明屬于橡膠材料拉伸力學(xué)性能研究的
技術(shù)領(lǐng)域：
，具體涉及一種考慮相關(guān)效應(yīng)的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的建模方法。
背景技術(shù)：
：橡膠材料的本構(gòu)研究應(yīng)包括超彈性和粘彈性。目前，關(guān)于橡膠拉伸力學(xué)性能的研究往往局限于超彈性，有限的關(guān)于橡膠率相關(guān)本構(gòu)模型的研究是將超彈性本構(gòu)模型和粘彈性本構(gòu)模型進(jìn)行組合，如H.Pouriayevali等將本構(gòu)方程表示為與坐標(biāo)系無關(guān)的形式，提出了描述橡膠類材料粘超彈性的本構(gòu)模型，然而由于建模過程中引入了由應(yīng)變不變量組成的多項(xiàng)式，參數(shù)較多且物理含義不明確，可能會(huì)出現(xiàn)多解狀況。技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：本發(fā)明的目的在于提供一種考慮相關(guān)效應(yīng)的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的建模方法，針對橡膠材料拉伸力學(xué)性能的研究，建立橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型，為橡膠材料拉伸力學(xué)性能研究提供參考，解決了不同應(yīng)變率下，橡膠材料力學(xué)表征問題。實(shí)現(xiàn)本發(fā)明目的的技術(shù)解決方案為：一種考慮相關(guān)效應(yīng)的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的建模方法，方法步驟如下：步驟一，對不同應(yīng)變率下橡膠材料進(jìn)行單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，獲得橡膠材料的響應(yīng)規(guī)律和變形特性：步驟1-1，通過準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，獲得橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變；步驟1-2、通過SHTB裝置進(jìn)行沖擊單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，獲得高應(yīng)變率下橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變；步驟1-3、根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)和沖擊單軸拉伸實(shí)驗(yàn)獲得的橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變，獲得其對應(yīng)的響應(yīng)規(guī)律和變形特性；步驟二、構(gòu)建橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型：步驟2-1、構(gòu)建Exp-ln超彈性本構(gòu)模型；步驟2-2、構(gòu)建基于非線性粘彈性方法的粘超彈本構(gòu)模型。步驟2-1、構(gòu)建Exp-ln超彈性本構(gòu)模型，具體方式如下：在準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下應(yīng)變率橡膠表現(xiàn)為超彈性，設(shè)單軸加載方向的伸長比為λ，橡膠為不可壓縮材料，則三向主伸長比為：λ1＝λ，λ2＝λ3＝λ-1/2，其中λ1為X軸方向主伸長比，λ2為Y軸方向主伸長比，λ3為Z軸方向主伸長比；因此，變形梯度張量F及左Cauchy應(yīng)變張量B為F=λ000λ-1/2000λ-1/2,B=λ2000λ-1000λ-1---(1)]]>超彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用應(yīng)變能函數(shù)W來度量，根據(jù)能量守恒可得，各向同性不可壓縮橡膠材料的本構(gòu)方程為σe=-PeI+2(∂We∂I1B+I1B∂We∂I2B)B-2∂We∂I2BB.B---(2)]]>式中，σe為Cauchy應(yīng)力，Pe為靜水壓力，左Cauchy應(yīng)變張量B的第一不變量左Cauchy應(yīng)變張量B的第二不變量I為單位矩陣；Exp-ln應(yīng)變能函數(shù)We為We=A[1aexp(a(I1B-3))+b(I1B-2)×(1-ln(I1B-2))-1a-b]---(3)]]>式中，超彈性參數(shù)A＝G/2，G為橡膠材料剪切模量，超彈性參數(shù)a與鏈節(jié)伸長極限有關(guān)，超彈性參數(shù)b與中等應(yīng)變量值有關(guān)；聯(lián)立式(2)和式(3)，則加載方向超彈性應(yīng)力及垂直于加載方向的橫向超彈性應(yīng)力為σ11e=-Pe+2Aλ2[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]---(4)]]>σ22e=σ33e=-Pe+2Aλ-1[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]---(5)]]>聯(lián)立式(4)和式(5)，結(jié)合獲得加載方向的超彈性本構(gòu)模型為σ11e=2A(λ2-λ-1)[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]---(6)]]>式中，λ＝1+ε11，其中P11為工程應(yīng)力，ε11為工程應(yīng)變，由式(6)結(jié)合橡膠材料準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法擬合確定兩個(gè)超彈性參數(shù)a、b的值。步驟2-2中，構(gòu)建基于非線性粘彈性方法的粘超彈本構(gòu)模型，具體方法如下：設(shè)粘超彈本構(gòu)模型σ(ε,t)為σ(ϵ,t)=σ0(ϵ)g(t)=σe+σv=σ0(ϵ)(g∞(ϵ)+Σi=1Ngi(ϵ)exp(-tθi))---(7)]]>式中，σ0(ε)為橡膠材料的瞬態(tài)應(yīng)力響應(yīng)，σe＝σ0(ε)g∞(ε)，g∞(ε)、gi(ε)均為無量綱參數(shù)，表征超彈性和粘彈性的權(quán)重，θi為松弛時(shí)間，N為松弛時(shí)間的組數(shù)。σv為粘彈本構(gòu)模型，g(t)為時(shí)間相關(guān)系數(shù)；結(jié)合Leaderman卷積積分和式(7)，橡膠材料非線性粘超彈性本構(gòu)σ為σ=∫-∞t[∂∂τ(σ0(ϵ)(g∞(ϵ)+Σi=1Ngi(ϵ)exp(-t-τθi)))]dτ---(8)]]>其中τ為特定時(shí)間；將式(8)分解為超彈性應(yīng)力部分和粘彈性應(yīng)力部分，三維全量格式粘超彈本構(gòu)模型為σ=σe+σv=σ0(ϵ)·g∞(ϵ)+Σi=1N∫-∞t∂∂τ(σ0(ϵ)·gi(ϵ))exp(-t-τθi)dτ---(9)]]>式(9)中為瞬態(tài)應(yīng)力的粘彈性部分；Y.Anani認(rèn)為瞬態(tài)粘彈性應(yīng)力和超彈性應(yīng)力具有相同形式的應(yīng)變能函數(shù)，因此，對于各向同性不可壓縮的橡膠材料表示為σ0v(ϵ)=-PvI+2(∂Wv∂I1B+I1B∂Wv∂I2B)B-2∂Wv∂I2BB.B---(10)]]>式中，A'、a'、b'均為粘彈性參數(shù)，Pv為靜水壓力；Wv為粘彈性應(yīng)變能；假設(shè)加載前材料的應(yīng)力狀態(tài)不影響加載后的應(yīng)力狀態(tài)，即時(shí)間積分下限為零，為減少模型參數(shù)數(shù)量，取N＝1時(shí)的松弛時(shí)間θi，聯(lián)立式(9)和式(10)得σv=-PvI+∫0t∂∂τ[2(∂Wv∂I1B+I1B∂Wv∂I2B)B-2∂Wv∂I2BB.B]exp(-t-τθ1)dτ---(11)]]>由式(11)，獲得加載方向粘彈性應(yīng)力及垂直于加載方向的橫向粘彈性應(yīng)力為σ11v=-Pv+∫0t∂∂t[2A′λ2(exp(a′(I1B-3))-b′ln(I1B-2))]exp(-t-τθ1)dτ---(12)]]>σ22v=σ33v=-Pv+∫0t∂∂t[2A′λ-1(exp(a′(I1B-3))-b′ln(I1B-2))]exp(-t-τθ1)dτ---(13)]]>聯(lián)立式(12)和式(13)，結(jié)合得到在加載方向的非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系為σ11v=∫0t∂∂τ[2A′(λ2-λ-1)(exp(a′(I1B-3))-b′ln(I1B-2))]exp(-t-τθ1)dτ---(14)]]>在定應(yīng)變率單軸拉伸作用下，應(yīng)變率加載時(shí)間將上述關(guān)系代入式(14)并結(jié)合式(6)得橡膠材料加載方向的粘超彈本構(gòu)模型σ11為σ11=σ11e+σ11v=2A(λ2-λ-1[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]+2A′θ1(1-exp(-λ-1λ·θ1))(2λλ·+λ·λ2)·[exp(a′(λ2+2λ-1-3))-b′ln(λ2+2λ-1-2)---(15)]]>通過式(15)結(jié)合動(dòng)態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在求得兩個(gè)超彈性參數(shù)a、b的值的基礎(chǔ)上，利用最小二乘法擬合確定三個(gè)粘彈性參數(shù)A'、a'、b'和松弛時(shí)間θ1的值。本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比，其顯著優(yōu)點(diǎn)在于：相對傳統(tǒng)的橡膠類材料粘超彈性的本構(gòu)模型，本發(fā)明將Exp-ln超彈性本構(gòu)模型與基于廣義粘彈性方法的粘彈性本構(gòu)模型進(jìn)行組合，建立了一種預(yù)測應(yīng)變范圍大、參數(shù)少且物理意義明確的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型。附圖說明圖1為本發(fā)明橡膠材料準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。圖2為本發(fā)明分離式霍普金森拉伸裝置(SHTB)示意圖。圖3為本發(fā)明一維彈性波傳播示意圖。圖4為本發(fā)明橡膠試件8示意圖。圖5為本發(fā)明帶螺紋孔的鋁合金入射桿示意圖。圖6為本發(fā)明膠粘夾具示意圖。圖7為本發(fā)明試件膠粘示意圖。圖8為本發(fā)明橡膠試件SHTB實(shí)驗(yàn)連接示意圖。圖9為本發(fā)明準(zhǔn)靜態(tài)下拉伸應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)值。圖10為本發(fā)明350s-1下入射、反射、透射信號(hào)曲線圖。圖11為本發(fā)明550s-1下入射、反射、透射信號(hào)曲線圖。圖12為本發(fā)明900s-1下入射、反射、透射信號(hào)曲線圖。圖13為本發(fā)明1200s-1下入射、反射、透射信號(hào)曲線圖。圖14為本發(fā)明1600s-1下入射、反射、透射信號(hào)曲線圖。圖15為本發(fā)明不同應(yīng)變率下拉伸應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)值示意圖。圖16為本發(fā)明橡膠材料霍普金森拉桿實(shí)驗(yàn)數(shù)值模型示意圖。圖17為本發(fā)明準(zhǔn)靜態(tài)下應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比圖。圖18為本發(fā)明不同應(yīng)變率下應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比圖。圖19為本發(fā)明考慮相關(guān)效應(yīng)的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的建模方法的流程圖。具體實(shí)施方式下面結(jié)合附圖對本發(fā)明作進(jìn)一步詳細(xì)描述。本發(fā)明的原理如下：建立橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型，并利用自主搭建的準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)裝置和分離式霍普金森拉伸裝置(SHTB)對其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，為橡膠材料拉伸力學(xué)性能研究提供參考。首先，為了使本構(gòu)模型具有預(yù)測應(yīng)變范圍大、參數(shù)少且物理意義明確的特點(diǎn)，將超彈性本構(gòu)模型與粘彈性本構(gòu)模型進(jìn)行組合，建立了橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型；其次，常見Instron實(shí)驗(yàn)機(jī)在測試小尺寸試件時(shí)存在的夾持困難、量程過大等問題，采用自主搭建了一種準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)裝置，該實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)簡單，能夠精確測量小尺寸試件在較小拉力作用下的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)；再次，針對SHTB裝置中試件連接方式存在的問題，設(shè)計(jì)一種用于SHTB裝置的新型試件連接方式，結(jié)合橡膠材料為板材這一實(shí)際情況，避免試件因連接受到破壞，增強(qiáng)了連接強(qiáng)度，提高了實(shí)驗(yàn)效率和實(shí)驗(yàn)精度；最后，為驗(yàn)證用戶子程序和橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的有效性，根據(jù)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)獲得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合了粘超彈本構(gòu)模型材料參數(shù)，推導(dǎo)了本構(gòu)模型的三維增量格式，根據(jù)ABAQUS軟件子程序的相關(guān)約定，編寫了本構(gòu)模型用戶子程序VUMAT，驗(yàn)證了用戶子程序和橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的有效性。以H.Pouriayevali等關(guān)于橡膠本構(gòu)模型的研究思路為例，結(jié)合圖1至圖19，本發(fā)明所述的一種考慮相關(guān)效應(yīng)的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型的建模方法，方法步驟如下：步驟一，對不同應(yīng)變率下橡膠材料進(jìn)行單軸拉伸實(shí)驗(yàn)針對橡膠材料試件，開展不同應(yīng)變率下單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，獲得應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)規(guī)律和變形特性。步驟1-1，通過準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，獲得橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變。搭建橡膠材料準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)裝置，包括靜態(tài)應(yīng)變儀1、拉力傳感器2、數(shù)顯螺旋千分尺3、直線導(dǎo)軌4、支架5、試件固定角鋁7。旋動(dòng)數(shù)顯螺旋千分尺3即可拉動(dòng)直線導(dǎo)軌4和支架5，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)拉力傳感器2對橡膠試件8進(jìn)行單軸加載；整個(gè)裝置中，支架5起到支撐數(shù)顯螺旋千分尺3、連接直線導(dǎo)軌4的滑塊和拉力傳感器2、支撐試件固定角鋁7的作用；橡膠試件8兩端通過502膠與拉力傳感器2端部和試件固定角鋁7粘結(jié)。拉力傳感器2用來測量試件作用力F并通過靜態(tài)應(yīng)變儀1的0通道讀取，試件8的相對位移ΔL通過數(shù)顯螺旋千分尺3讀取。力F-位移ΔL與試件工程應(yīng)力P11-工程應(yīng)變?chǔ)?1的轉(zhuǎn)換關(guān)系式如下：P11=FA0,ϵ11=ΔLL---(16)]]>式中，A0、L為試件的初始實(shí)驗(yàn)段受力面積和初始實(shí)驗(yàn)段長度，其中P11為工程應(yīng)力。步驟1-2、通過SHTB裝置進(jìn)行沖擊單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，獲得高應(yīng)變率下橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變。桿系直徑為12.7mm，入射桿9、透射桿10和吸收桿11長分別為600mm、1200mm和1200mm，管狀子彈內(nèi)徑、外徑和長度分別為30mm、40mm和300mm，橡膠和簾線/橡膠復(fù)合材料均為低阻抗材料，為保證阻抗匹配，入射桿9和透射桿10均采用鋁合金材料。(SHTB裝置包括氣壓控制系統(tǒng)12、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)13、高速攝影系統(tǒng)14、入射桿9、透射桿10、吸收桿11、管狀子彈15。)在鋁合金入射桿9和透射桿10兩端攻螺紋孔，加工用于膠粘的夾具，其端部與入射桿9和透射桿10螺紋孔配合，與試件8膠粘處為矩形槽。為提高實(shí)驗(yàn)效率，夾具加工十套，使用AB膠同時(shí)進(jìn)行膠粘；為保證試件8與拉桿軸線的同軸度，在AB膠固結(jié)時(shí)，使用帶槽支架支承夾具。將橡膠試件8固結(jié)后膠粘夾具與入射桿9和透射桿10裝配。入射桿9和透射桿10分別貼有兩組電阻應(yīng)變片，管狀子彈15以一定速度撞擊法蘭盤時(shí)，在入射桿9端產(chǎn)生拉伸入射波形向桿的另一端(圖中向右)傳播，入射桿9上應(yīng)變片G1記錄下入射應(yīng)變波形，這一波形傳入試件8后在試件8中經(jīng)試件前后界面多次透射、反射，在試件中基本達(dá)到應(yīng)力平衡。試件被看成為沒有厚度的試件界面，應(yīng)變波形在這個(gè)界面上，一部分被反射回入射桿9向左傳播，再次由應(yīng)變片G1記錄；其余部分則透射到透射桿10內(nèi)繼續(xù)向右傳播，透射桿10上應(yīng)變片G2記錄下透射應(yīng)變波形。在實(shí)驗(yàn)中實(shí)測的是由數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)13獲得的電壓-時(shí)間曲線，通過電壓與應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系，即可將電壓波形轉(zhuǎn)變應(yīng)變波形。根據(jù)一維彈性應(yīng)力波的傳播理論，利用在入射桿9和透射桿10上記錄的信號(hào)εI、εR、εT，可以根據(jù)式(17)-式(20)計(jì)算出試件兩個(gè)端面的力F1、F2和位移u1、u2。F1＝EoAo(εI+εR)(17)F2＝EoAoεT(18)u1＝Co∫(εI-εR)dt(19)u2＝Co∫εIdt(20)式中，εI是入射應(yīng)變；εR是反射應(yīng)變；εT是透射應(yīng)變；Eo是桿的彈性模量；Ao是桿的橫截面積；Co是桿內(nèi)彈性波的速度；t是時(shí)間。在試件8內(nèi)部滿足應(yīng)力平衡的條件下，試件8的應(yīng)力σs、應(yīng)變?chǔ)舠、應(yīng)變率可用式(21)-式(23)表示：σs=F1+F22As---(21)]]>ϵs=u1-u22Ls---(22)]]>ϵ·s=dϵsdt---(23)]]>式中，As、Ls分別為試件的橫截面積；t為時(shí)間。在動(dòng)態(tài)應(yīng)力平衡條件下，根據(jù)以下式(24)-式(26)可以得到材料在不同應(yīng)變率下的工程應(yīng)力σs(t)-工程應(yīng)變?chǔ)舠(t)關(guān)系：σs(t)=EoAo2AsϵT(t)---(24)]]>ϵs(t)=-2CoLs∫0tϵR(t)dt---(25)]]>ϵ·s(t)=-2CoLsϵR(t)---(26)]]>步驟1-3、根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)和沖擊單軸拉伸實(shí)驗(yàn)獲得的橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變，獲得其對應(yīng)的響應(yīng)規(guī)律和變形特性。通過靜態(tài)應(yīng)變儀1的0通道讀取試件作用力F，通過數(shù)顯螺旋千分尺3讀取試件的相對位移ΔL，根據(jù)式(16)可以獲得準(zhǔn)靜態(tài)下的工程應(yīng)力P11-工程應(yīng)變?chǔ)?1實(shí)驗(yàn)值。調(diào)節(jié)管狀子彈15的撞擊速度，得到橡膠試件8在350s-1、550s-1、900s-1、1200s-1、1600s-1應(yīng)變率下的沖擊拉伸響應(yīng)(考慮橡膠材料力學(xué)性能的離散性，每組應(yīng)變率完成4組平行實(shí)驗(yàn))。結(jié)合圖10-圖14，入射桿9、透射桿10上應(yīng)變片G1、G2通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)獲得入射、反射、透射信號(hào)，實(shí)測的各應(yīng)變率下入射、反射、透射信號(hào)。由實(shí)測電壓信號(hào)波形獲得橡膠材料沖擊拉伸規(guī)律的方法如下：將反射波和透射波電壓信號(hào)去除零漂、截取有效段；根據(jù)電壓與應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系，將有效電壓信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槿肷鋺?yīng)變?chǔ)臝、反射應(yīng)變?chǔ)臨和透射應(yīng)變?chǔ)臫；由透射應(yīng)變?chǔ)臫利用式(24)可以得到試件8的應(yīng)力時(shí)間曲線，由反射波εR利用式(26)可以得到試件8的應(yīng)變率時(shí)間曲線；利用式(25)即反射波εR對時(shí)間積分可以得到試件8的應(yīng)變時(shí)間曲線，最后利用時(shí)間對應(yīng)關(guān)系就可以得到試件的工程應(yīng)力-工程應(yīng)變關(guān)系。利用上述方法，獲得橡膠試件在350s-1、550s-1、900s-1、1200s-1、1600s-1應(yīng)變率下的工程應(yīng)力P11-工程應(yīng)變?chǔ)?1實(shí)驗(yàn)值。結(jié)合圖9和圖15，得出橡膠試件的應(yīng)力隨應(yīng)變的增大而增大；隨應(yīng)變率的增大，相同應(yīng)變下，橡膠試件的應(yīng)力增大。橡膠材料的力學(xué)響應(yīng)表現(xiàn)出明顯的率相關(guān)性。步驟二、構(gòu)建橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型將Exp-ln超彈性本構(gòu)模型與基于廣義粘彈性方法的粘彈性本構(gòu)模型進(jìn)行組合，建立了一種預(yù)測應(yīng)變范圍大、參數(shù)少且物理意義明確的橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型。步驟2-1、構(gòu)建Exp-ln超彈性本構(gòu)模型準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下橡膠表現(xiàn)為超彈性，設(shè)單軸加載方向的伸長比為λ，橡膠為不可壓縮材料，則三向主伸長比為：λ1＝λ，λ2＝λ3＝λ-1/2，其中λ1為X軸方向主伸長比，λ2為Y軸方向主伸長比，λ3為Z軸方向主伸長比；因此，變形梯度張量F及左Cauchy應(yīng)變張量B為F=λ000λ-1/2000λ-1/2,B=λ2000λ-1000λ-1---(1)]]>超彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用應(yīng)變能函數(shù)W來度量，根據(jù)能量守恒可得，各向同性不可壓縮橡膠材料的本構(gòu)方程為σe=-PeI+2(∂We∂I1B+I1B∂We∂I2B)B-2∂We∂I2BB.B---(2)]]>式中，σe為Cauchy應(yīng)力，Pe為靜水壓力，左Cauchy應(yīng)變張量B的第一不變量左Cauchy應(yīng)變張量B的第二不變量I為單位矩陣。采用參數(shù)具有實(shí)際物理意義且適用應(yīng)變范圍較廣的Exp-ln應(yīng)變能函數(shù)，所述Exp-ln應(yīng)變能函數(shù)We為We=A[1aexp(a(I1B-3))+b(I1B-2)×(1-ln(I1B-2))-1a-b]---(3)]]>式中，超彈性參數(shù)A＝G/2，G為橡膠材料剪切模量，超彈性參數(shù)a與鏈節(jié)伸長極限有關(guān)，超彈性參數(shù)b與中等應(yīng)變量值有關(guān)。A、a、b分別決定了橡膠材料小、中、大應(yīng)變階段的力學(xué)響應(yīng)，因此，該應(yīng)變能函數(shù)的應(yīng)變預(yù)測范圍較廣且需擬合的參數(shù)較少。聯(lián)立式(2)和式(3)，則加載方向超彈性應(yīng)力及垂直于加載方向的橫向超彈性應(yīng)力為σ11e=-Pe+2Aλ2[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]---(4)]]>σ22e=σ33e=-Pe+2Aλ-1[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]---(5)]]>聯(lián)立式(4)和式(5)，結(jié)合可得加載方向的超彈性本構(gòu)模型為σ11e=2A(λ2-λ-1)[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]---(6)]]>式中，λ＝1+ε11，其中P11為工程應(yīng)力，ε11為工程應(yīng)變，由式(6)結(jié)合橡膠材料準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法擬合確定兩個(gè)超彈性參數(shù)a、b的值。步驟2-2、構(gòu)建基于非線性粘彈性方法的粘超彈本構(gòu)模型結(jié)合C.Gamonpilas給出的非線性粘彈性本構(gòu)模型的描述方法，將應(yīng)變?chǔ)藕蜁r(shí)間t對應(yīng)力的影響效應(yīng)進(jìn)行解耦，避免了引入多項(xiàng)式，粘超彈本構(gòu)模型σ(ε,t)為σ(ϵ,t)=σ0(ϵ)g(t)=σe+σv=σ0(ϵ)(g∞(ϵ)+Σi=1Ngi(ϵ)exp(-tθi))---(7)]]>式中，σ0(ε)為橡膠材料的瞬態(tài)應(yīng)力響應(yīng)，σe＝σ0(ε)g∞(ε)，g∞(ε)、gi(ε)均為無量綱參數(shù)，表征超彈性和粘彈性的權(quán)重，θi為松弛時(shí)間，N為松弛時(shí)間的組數(shù)。σv為粘彈本構(gòu)模型，g(t)為時(shí)間相關(guān)參數(shù)；積分形式的本構(gòu)方程能直接反映粘彈性材料的記憶特性，結(jié)合Leaderman卷積積分和式(7)，橡膠材料非線性粘超彈性本構(gòu)σ為σ=∫-∞t[∂∂τ(σ0(ϵ)(g∞(ϵ)+Σi=1Ngi(ϵ)exp(-t-τθi)))]dτ---(8)]]>其中τ為特定時(shí)間將式(8)分解為超彈性應(yīng)力部分和粘彈性應(yīng)力部分，三維全量格式粘超彈本構(gòu)模型為σ=σe+σv=σ0(ϵ)·g∞(ϵ)+Σi=1N∫-∞t∂∂τ(σ0(ϵ)·gi(ϵ))exp(-t-τθi)dτ---(9)]]>式(9)中為瞬態(tài)應(yīng)力的粘彈性部分。Y.Anani認(rèn)為瞬態(tài)粘彈性應(yīng)力和超彈性應(yīng)力具有相同形式的應(yīng)變能函數(shù)，因此，對于各向同性不可壓縮的橡膠材料可表示為σ0v(ϵ)=-PvI+2(∂Wv∂I1B+I1B∂Wv∂I2B)B-2∂Wv∂I2BB.B---(10)]]>式中，A'、a'、b'均為粘彈性參數(shù)，Pv為靜水壓力。Wv為粘彈性應(yīng)變能；假設(shè)加載前材料的應(yīng)力狀態(tài)不影響加載后的應(yīng)力狀態(tài)，即時(shí)間積分下限為零，為減少模型參數(shù)數(shù)量，取N＝1時(shí)的松弛時(shí)間θi，聯(lián)立式(9)和式(10)可得σv=-PvI+∫0t∂∂τ[2(∂Wv∂I1B+I1B∂Wv∂I2B)B-2∂Wv∂I2BB.B]exp(-t-τθ1)dτ---(11)]]>由式(11)可得加載方向粘彈性應(yīng)力及垂直于加載方向的橫向粘彈性應(yīng)力為σ11v=-Pv+∫0t∂∂t[2A′λ2(exp(a′(I1B-3))-b′ln(I1B-2))]exp(-t-τθ1)dτ---(12)]]>σ22v=σ33v=-Pv+∫0t∂∂t[2A′λ-1(exp(a′(I1B-3))-b′ln(I1B-2))]exp(-t-τθ1)dτ---(13)]]>聯(lián)立式(12)和式(13)，結(jié)合可得在加載方向的非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系為σ11v=∫0t∂∂τ[2A′(λ2-λ-1)(exp(a′(I1B-3))-b′ln(I1B-2))]exp(-t-τθ1)dτ---(14)]]>在定應(yīng)變率單軸拉伸作用下，應(yīng)變率加載時(shí)間將上述關(guān)系代入式(14)并結(jié)合式(6)得橡膠材料加載方向的粘超彈本構(gòu)模型為σ11=σ11e+σ11v=2A(λ2-λ-1[exp(a(λ2+2λ-1-3))-bln(λ2+2λ-1-2)]+2A′θ1(1-exp(-λ-1λ·θ1))(2λλ·+λ·λ2)·[exp(a′(λ2+2λ-1-3))-b′ln(λ2+2λ-1-2)---(15)]]>通過式(15)結(jié)合動(dòng)態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在求得兩個(gè)超彈性參數(shù)a、b的值的基礎(chǔ)上，利用最小二乘法擬合確定三個(gè)粘彈性參數(shù)A'、a'、b'和松弛時(shí)間θ1的值，如表1。由于采用了參數(shù)少且物理意義明確的Exp-ln超彈性本構(gòu)模型和建立在應(yīng)變、時(shí)間效應(yīng)解耦基礎(chǔ)上的非線性粘彈性本構(gòu)模型，提出的粘超彈本構(gòu)模型具有預(yù)測應(yīng)變范圍大、參數(shù)少且物理意義明確的特點(diǎn)。表1為本發(fā)明粘超彈本構(gòu)模型參數(shù)值。表1步驟三、對粘超彈本構(gòu)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。步驟3-1、對粘超彈本構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)擬合將橡膠材料單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入粘超彈本構(gòu)模型中，進(jìn)行最小二乘法擬合，即可獲得本構(gòu)模型的6個(gè)待定參數(shù)，參數(shù)擬合步驟為：(1)根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下橡膠材料單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合式(6)并采用最小二乘法確定兩個(gè)超彈性參數(shù)a、b的值。(2)將a、b代入式(15)中，選取應(yīng)變率為900s-1的曲線進(jìn)行非線性擬合，確定三個(gè)粘彈性參數(shù)A'、a'、b'和松弛時(shí)間θ1的值。至此橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型中所有參數(shù)全部求得。步驟3-2、粘超彈本構(gòu)模型三維增量格式與VUMAT開發(fā)為進(jìn)行橡膠材料粘超彈本構(gòu)模型VUMAT子程序開發(fā)，對式(9)三維全量格式本構(gòu)進(jìn)行有限元離散，建立三維應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。針對橡膠粘超彈本構(gòu)(9)中的超彈本構(gòu)部分，采用Kirchhoff應(yīng)力張量S與Green應(yīng)變張量E獲得超彈本構(gòu)模型σe的應(yīng)力更新。設(shè)變量G＝2E+I，E、G用分量形式表示為(i,j＝1,2,3)，ei為正交曲線坐標(biāo)的基矢，ξ為應(yīng)變。則三個(gè)應(yīng)變不變量為即有∂I1B∂G=I,∂I2B∂G=2G,∂I3B∂G=3G2---(27)]]>∂2I1B∂G2=0ei⊗ej⊗ek⊗el∂2I2B∂G2=2δkiδljei⊗ej⊗ek⊗el∂2I3B∂G2=3(δkigij+gjkδlj)ei⊗ej⊗ek⊗el,k,l=1,2,3---(28)]]>設(shè)由應(yīng)變能函數(shù)定義S對E偏導(dǎo)數(shù)又∂∂G(Wei∂Ii∂G)=∂Ii∂G⊗∂Wei∂G+∂∂G(∂Ii∂G)Wei=∂Ii∂G⊗(Weij∂Ij∂G)+∂2Ii∂G2We---(29)]]>由式(27)得∂I1∂G⊗(We1j∂Ij∂G)=I⊗(We11I+2We12G+3We13G2)∂I2∂G⊗(We2j∂Ij∂G)=2G⊗(We21I+2We22G+3We23G2)∂I3∂G⊗(We3j∂Ij∂G)=3G2⊗(We31I+2We32G+3We33G2)---(30)]]>令Dijklei為切線本構(gòu)張量，采用Kirchhoff應(yīng)力張量S與Green應(yīng)變張量E，超彈本構(gòu)模型的三維增量格式為dS＝DijkldE(31)結(jié)合式(28)和式(29)，即可給出Dijkl＝4[We11δjiδlk+2We12δjigkl+3We13δjigkmgml+2We21gijδlk+4We22gijgkl+6We23gijgkmgml+3We31gimgmjδlk+6We32gimgmjδlk+6We32gimgmjgkl+9We33gimgmjgkngnl+2We2δkiδlj+3We3(δkiglj+gikδli)](32)將式(2)應(yīng)變能函數(shù)We代入式(32)求得切線本構(gòu)張量Dijklei，通過編制VUMAT子程序獲得Kirchhoff應(yīng)力張量S和Green應(yīng)變張量E的更新，對于不可壓縮橡膠有σe＝FSFT、E＝1/2(FTF-ξ)，即可獲得超彈本構(gòu)模型σe的應(yīng)力更新。針對橡膠粘超彈本構(gòu)中的粘彈本構(gòu)部分，由于粘彈本構(gòu)模型σv中粘性積分項(xiàng)與變形歷史相關(guān)，采用遞推格式進(jìn)行求解獲得粘彈本構(gòu)模型σv的三維增量格式。取N＝1時(shí)的松弛時(shí)間，設(shè)時(shí)刻t的粘彈性應(yīng)力為σvt=-PvI+∫0t∂∂τ(σ0v(ξ))exp(-t-τθi)dτ---(33)]]>則時(shí)刻t+Δt的粘彈性應(yīng)力為σvt+Δt=-PvI+∫0t+Δt∂∂τ(σ0v(ξ))exp(-t+Δt-τθi)dτ---(34)]]>對于式(34)采用分步積分，第一部分積分起止時(shí)間為(0,t)，第二部分積分起止時(shí)間為(t,Δt)，當(dāng)Δt很小時(shí)，近似認(rèn)為t和Δt時(shí)刻的應(yīng)變率相等，式(34)可化簡為σvt+Δt=θidσ0v(ξ)dτ(1-exp(-Δtθi))+σvtexp(-Δtθi)---(35)]]>式(35)即為實(shí)現(xiàn)粘彈本構(gòu)模型σv應(yīng)力更新的三維增量格式，其中項(xiàng)采用和超彈本構(gòu)部分相同的更新方式。至此，將超彈本構(gòu)模型、粘彈本構(gòu)模型的應(yīng)力更新進(jìn)行疊加，即獲得了進(jìn)行子程序開發(fā)所需的本構(gòu)方程三維增量格式，子程序開發(fā)的任務(wù)就是在材料積分點(diǎn)上完成上式的應(yīng)力計(jì)算，并對主程序進(jìn)行應(yīng)力更新。針對式(31)、式(35)和VUMAT所提供的數(shù)據(jù)接口，制定粘超彈本構(gòu)模型子程序開發(fā)實(shí)施步驟為：(1)從ABAQUS主程序中讀入增量步開始時(shí)刻材料屬性：a、b、A'、a'、b'、θ1；變形梯度Ft、Ft+Δt；時(shí)間增量Δt等；(2)從用戶自定義狀態(tài)變量載入Green應(yīng)變張量E，根據(jù)E＝1/2(FTF-ξ)求解Green應(yīng)變增量dE；(3)由式(31)計(jì)算Kirchhoff應(yīng)力增量dS，根據(jù)σe＝FSFT求解獲得超彈本構(gòu)模型σe的應(yīng)力更新；(4)由式(35)計(jì)算獲得粘彈本構(gòu)模型σv應(yīng)力更新；(5)將超彈本構(gòu)模型σe的應(yīng)力更新和粘彈本構(gòu)模型σv應(yīng)力更新進(jìn)行疊加，并返回增量步結(jié)束時(shí)刻的應(yīng)力；(6)更新狀態(tài)變量。根據(jù)以上步驟，用FORTRAN語言編寫子程序，從而將橡膠粘超彈本構(gòu)模型嵌入到ABAQUS中。步驟3-3，對粘超彈本構(gòu)模型的有效性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證為驗(yàn)證本構(gòu)模型的有效性，將開發(fā)的橡膠粘超彈本構(gòu)模型的子程序VUMAT用于模擬霍普金森拉桿實(shí)驗(yàn)。結(jié)合圖16，橡膠試件8采用C3D8R單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共計(jì)2148個(gè)單元，為了減小數(shù)值模型規(guī)模、簡化計(jì)算，并沒有建立實(shí)際的霍普金森拉伸裝置(如法蘭盤，吸收桿等)，而是利用了數(shù)值模擬的便捷性，直接將管狀子彈15與入射桿9粘接在一起，采用顯式動(dòng)態(tài)方法進(jìn)行計(jì)算，沖擊加載以對管狀子彈15施加瞬間速度實(shí)現(xiàn)，通過改變子彈的撞擊速度來實(shí)現(xiàn)不同應(yīng)變率的加載。將霍普金森拉桿實(shí)驗(yàn)數(shù)值模型中顯式動(dòng)態(tài)算法修改為隱式靜態(tài)算法，在管狀子彈15上施加位移邊界條件，即可模擬橡膠試件8的準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)。在霍普金森拉桿實(shí)驗(yàn)數(shù)值模型的入射桿9和透射桿10上按應(yīng)變片粘貼位置選取單元，獲得入射波、反射波和透射波的應(yīng)變波形，根據(jù)不同應(yīng)變率下應(yīng)變波形的數(shù)值解，結(jié)合式(24)-式(26)，即可獲得不同應(yīng)變率下橡膠材料試件8拉伸應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)值解。結(jié)合圖17-圖18，在工程應(yīng)變?chǔ)?1<0.02范圍內(nèi)，工程應(yīng)力數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)值符合較好；提出的粘超彈本構(gòu)模型能夠預(yù)測橡膠材料的單軸加載方向力學(xué)響應(yīng)，驗(yàn)證了粘超彈本構(gòu)模型的有效性。當(dāng)前第1頁1 2 3