一種非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法
【專利摘要】一種非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法，首先辨識(shí)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)模型，計(jì)算出質(zhì)量、剛度和阻尼；然后采用從線性壓電能量俘獲系統(tǒng)中分離出的速度?電壓子系統(tǒng)計(jì)算出機(jī)電耦合系數(shù)；最后，采用多項(xiàng)式擬合非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)中的非線性回復(fù)力，并且在辨識(shí)非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)模型時(shí)將其作為系統(tǒng)輸入，辨識(shí)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程后，利用其頻響函數(shù)計(jì)算得到非線性回復(fù)力，完成了對非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的建模及參數(shù)辨識(shí)，本發(fā)明建立了能夠準(zhǔn)確預(yù)測寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)的輸出特性的模型，并利用該模型計(jì)算出系統(tǒng)各項(xiàng)參數(shù)和非線性回復(fù)力。
【專利說明】
一種非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001] 本發(fā)明屬于壓電振動(dòng)能量俘獲建模技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種非線性寬頻壓電能量 俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 通常把獲取周圍環(huán)境中能量并轉(zhuǎn)化為可利用能量的過程叫做能量俘獲，能量俘獲 技術(shù)具有巨大的應(yīng)用前景。目前，能量俘獲技術(shù)的種類很多，有太陽能發(fā)電、風(fēng)能發(fā)電、溫差 發(fā)電、RF發(fā)電、人體發(fā)電、大氣壓差發(fā)電和振動(dòng)發(fā)電等技術(shù)。相比于其他能量源，振動(dòng)能量相 對穩(wěn)定且廣泛的存在，振動(dòng)能量俘獲的方法有電磁、靜電、壓電等三種。其中，電磁裝置產(chǎn)生 的電壓很低，幅值一般小于IV;靜電俘獲方法需要一個(gè)獨(dú)立的電壓源;壓電振動(dòng)能量俘獲電 壓幅值高且無須外接電源，同時(shí)具有比電磁和靜電兩種方法更高的實(shí)際能量密度，因此是 振動(dòng)能量俘獲中最為有效方法，非常適合為無線傳感器供電。
[0003] 在壓電振動(dòng)能量俘獲領(lǐng)域，懸臂梁式壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)具有能量密度高、裝 置簡單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，是最受關(guān)注的壓電能量俘獲系統(tǒng)之一。然而，傳統(tǒng)的線性懸臂梁 式壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的有效頻帶過窄，與周圍環(huán)境振動(dòng)頻率匹配差，俘獲的能量嚴(yán)重 受限于周圍環(huán)境的振動(dòng)頻率，因而俘獲能量的效率較低，很多情況下并不能滿足實(shí)際需求。 為了解決上述問題，目前主要有基于機(jī)械原理和引入磁場因素兩大類方法來提高壓電能量 俘獲系統(tǒng)的有效頻帶，但這兩種方法都將傳統(tǒng)的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非線性 寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)。后者的精確建模非常困難，原因之一在于系統(tǒng)的磁場力的測 量比較困難。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 為了克服上述現(xiàn)有技術(shù)的缺點(diǎn)，本發(fā)明的目的在于提供一種非線性寬頻壓電能量 俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法，能夠準(zhǔn)確預(yù)測該系統(tǒng)的輸出特性并能確定其各項(xiàng)參數(shù)及 磁場力。
[0005] 為了達(dá)到上述目的，本發(fā)明采取的技術(shù)方案為：
[0006] -種非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法，包括以下步驟：
[0007] 1)根據(jù)哈密頓原理、壓電理論、Rayleigh-Ritz原理、歐拉-伯努利梁理論、電場常 值分布理論和Rayleigh阻尼定理，推導(dǎo)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá) 式：
[0008]
[0009] 式（1)中，M為質(zhì)量，Cv為阻尼，K為剛度，Θ為機(jī)電耦合系數(shù)，〇>為電容，R為負(fù)載電阻， F為外部激振力，r(t)是懸臂梁端部位移，v(t)是系統(tǒng)輸出電壓；
[0010] 2)引入磁場力Fm，將磁場力Fm代入式（1)，使得式(1)所表示的線性壓電振動(dòng)能量俘 獲系統(tǒng)成為非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)：
[0011]
[0012] 式⑵中Kr⑴項(xiàng)所表示的線性回復(fù)力和磁場力Fm合并為非線性回復(fù)力Fr，式⑵成 為：
[0013]
[0014] 3)推導(dǎo)線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程;通過實(shí)驗(yàn)測 得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)，采用PEM模型法辨識(shí)得到線性壓電振動(dòng)能 量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，完成該系統(tǒng)的建模;建立線性壓電振動(dòng)能量俘獲系 統(tǒng)辨識(shí)得到的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程和該系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程的關(guān)系；
[0015] 步驟3)的具體推導(dǎo)過程為：
[0016] 3.1)取狀態(tài)變量x = [r(/)印）V⑴f，輸出變量y = r(t)，將式（1)轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí) 間狀態(tài)空間方稈，下標(biāo)1衷示線件壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)：
[0017]
[0018] 1234567 3.2)然后根據(jù)式(4)的輸入輸出數(shù)據(jù)格式要求，將實(shí)驗(yàn)測得線性壓電振動(dòng)能量俘 獲系統(tǒng)的外部激振力F作為輸入數(shù)據(jù)、以懸臂梁端部位移r(t)和電壓v(t)為輸出數(shù)據(jù)，采用 PEM模型法，辨識(shí)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程： 2
[0020]
3 式(5)中人、春、?,為辨識(shí)得到的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài) 空間方程的狀態(tài)矩陣； 4 3.3)線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)矩陣和離散時(shí)間系統(tǒng)矩陣以及 連續(xù)時(shí)間控制矩陣和離散時(shí)間控制矩陣的關(guān)系為： 5
[0023]
6 式(6)中，e是自然對數(shù)；At是采樣時(shí)間；I是單位矩陣； 7 4)根據(jù)辨識(shí)出線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程求得該系統(tǒng) 頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值并與其理論值對比求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K;
[0026]步驟4)的具體推導(dǎo)過程為：
[0027] 4.1)由理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程(5)推導(dǎo)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng) 的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值為：
[0028] Ηι(ω)=〇ι(?ω I-Ai)_1Bi (7)
[0029] 當(dāng)《=〇時(shí)式(7)成為：
[0030] Hi(O)=CM-Air1Bi (8)
[0031] 將步驟(3)中Αι、Βι和Ci的表達(dá)式代入式(8)得：
[0032]
[0033] 4.2)將式(6)代入式(8)得到當(dāng)ω =〇時(shí)的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 函數(shù)的辨識(shí)值：
[0034]
(10)
[0035] 對比式(9)和式(10)，便求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度Κ;
[0036] 5)對Ai進(jìn)行特征值、特征向量分解，得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率 ω和阻尼比ξ的理論值;運(yùn)用的關(guān)系計(jì)算壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率ω和阻 尼比ξ的辨識(shí)值;通過步驟4)步中求出的壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度Κ，能夠求出線性壓 電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量M和阻尼C v;
[0037]步驟5)的具體推導(dǎo)過程為：
[0038] 5.1)對Ai進(jìn)行特征值、特征向量分解：
[0039]
[0040] 式中:λι是Ai的特征值;Φ是Ai的特征向量，特征值和特征向量的格式為：
[0041 ]
(12)
[0042] 式中：A1r為買部;λη為虛部;ihR為屯的實(shí)部;φ π為屯的虛部；
[0043] 5.2)根據(jù)式(6)推導(dǎo)出A1的特征值心和4的特征值為的關(guān)系為：
[0044]
M3)
[0045] 通過式(13)計(jì)算出六:的特征值A(chǔ)1;
[0046] 5.3)由特征值求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率ω和阻尼比ξ的值：
[0049] 5.4)固有頻率ω和阻尼比ξ的定義：
[0047] (14)
[0048]
[0050] (1Θ)
[0051 ] (17)
[0052]固有頻率ω和阻尼比ξ在步驟5.3)中已經(jīng)計(jì)算出來，又根據(jù)步驟4)計(jì)算出來的線 性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K就能夠計(jì)算出線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量M和阻 尼Cv;
[0053] 6)利用式（1)中第二個(gè)方程來構(gòu)建一個(gè)速度-電壓子系統(tǒng)，推導(dǎo)該子系統(tǒng)理論上的 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，求得該子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值;用PEM模型法辨識(shí)得到該 子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，求得該子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值，對比理論值得 到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)的值；
[0054]步驟6)的具體推導(dǎo)過程為：
[0055] 6.1)將式(1)的第二個(gè)方程取出作為一個(gè)速度-電壓子系統(tǒng)，并同時(shí)除以Cp得到：
[0056]
(丄8)
[0057] 6.2)取子系統(tǒng)的速度為輸入變量，電壓V (t)為輸出變量，將式（18)化為速度-電壓子系統(tǒng)的理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，下標(biāo)s表示速度-電壓子系統(tǒng)：
[0058]
[0059]
[0060] 6.3)從式（19)推導(dǎo)出速度-電壓子系統(tǒng)的當(dāng)圓頻率ω=〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理 論值：
[0061]
[0062] 6.4)然后根據(jù)步驟6.2)中的式（19)輸入、輸出數(shù)據(jù)格式要求，將實(shí)驗(yàn)測得的線性 壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的速度/V)作為輸入數(shù)據(jù)、電壓v(t)作為輸出數(shù)據(jù)，采用PEM模型法， 辨識(shí)得到速度-電壓子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：
[0063]
(21)
[0064] 式（21)中又,、:良和仏為辨識(shí)得到的速度-電壓子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程 的狀態(tài)矩陣；
[0065] 6.5)由式(21)求得速度-電壓子系統(tǒng)的當(dāng)圓頻率ω = 〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí) 值：
[0066]
(22)
[0067]與式(20)對應(yīng)，求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)；
[0068] 7)用懸臂梁端部位移r(t)的多項(xiàng)式擬合非線性回復(fù)力Fr:
[0069] Fr = p〇+pir(t)+p2r(t)2+. . .+pnr(t)n (23)
[0070] 式(3)中：PQ、P1…Pn為多項(xiàng)式系數(shù)；
[0071] 8)由非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)出該系統(tǒng)理論上的連 續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，由此推導(dǎo)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的 理論值;采集非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用PEM法辨識(shí)得到非線 性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，由此計(jì)算得到非線性寬頻壓電振 動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值;對比非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的理論 值和辨識(shí)值，計(jì)算得到擬合非線性回復(fù)力的多項(xiàng)式系數(shù)，從而得到非線性回復(fù)力的值； [0072]步驟8)的具體推導(dǎo)過程為：
[0073] 8.1)將非線性回復(fù)力作為非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入，把式(3)中
[0077] 8.3)取輸入變量為ue=[F -I -r(t)"-rn(t)]，輸出變量為ye=[r(t) v(t)]為輸 出，取狀態(tài)變量為\ = ②吵）沖)f，下標(biāo)e表示非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)，由 此將式(14)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程： 的Fr移至等式右側(cè)，并將式(23)代入式(3)得到：
[0074]
[0075]
[0076]
[0080] 8.4)由式(26)計(jì)算非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的當(dāng)ω =〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值為：
[0078]
[0079]
[0081]
[0082] 8.5)對于非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測得該系統(tǒng)輸入輸出數(shù) 據(jù)，以式(26)要求的數(shù)據(jù)格式采用PEM模型法辨識(shí)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng) 的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：
[0083]
[0084] Ae、0(和<是通過辨識(shí)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀 態(tài)空間方程的狀態(tài)矩陣；
[0085] 8.6)通過辨識(shí)得到的離散狀態(tài)空間方程計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲 系統(tǒng)的當(dāng)ω =0時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值：
[0086]
(29)
[0087] 與式（27)對應(yīng)，能夠求出擬合非線性回復(fù)力的多項(xiàng)式的系數(shù)pQ、pr"pn，將其代入 式(4)計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的非線性回復(fù)力；
[0088] 9)通過步驟3)、4)給出了線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼和機(jī)電耦 合系數(shù)，由于磁場力的引入對這些參數(shù)影響不大，將這些參數(shù)作為對應(yīng)的非線性寬頻壓電 振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù);結(jié)合步驟5)給出了非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離 散時(shí)間狀態(tài)空間方程和非線性回復(fù)力，完成了對非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的建模 及參數(shù)辨識(shí)。
[0089] 本發(fā)明的有益效果為:本發(fā)明提出了計(jì)算線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量、剛 度和阻尼的方法;提出將速度-電壓取出作為一個(gè)子系統(tǒng)，建立該子系統(tǒng)模型，計(jì)算出線性 壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)，解決了以往模型中機(jī)電耦合系數(shù)難于計(jì)算的問 題;用多項(xiàng)式擬合非線性回復(fù)力，并將非線性回復(fù)力作為系統(tǒng)的輸入，將整個(gè)非線性系統(tǒng)化 為偽線性系統(tǒng)，采用PEM模型法進(jìn)行辨識(shí)，得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí) 間狀態(tài)空間方程，并由該方程的頻率響應(yīng)函數(shù)直接計(jì)算出非線性回復(fù)力，解決了以往非線 性回復(fù)力難于確定的問題。
【附圖說明】
[0090] 圖1為實(shí)施例的寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的示意圖。
[0091] 圖2為實(shí)施例參數(shù)下寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸出電壓的測量值和辨識(shí)值的 對比。
[0092]圖3為實(shí)施例參數(shù)下實(shí)測磁場力和辨識(shí)磁場力的對比。
【具體實(shí)施方式】
[0093]下面結(jié)合附圖和實(shí)施例對本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)描述。
[0094]參照圖1，實(shí)施例的寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)包括懸臂梁，懸臂梁上端連接有壓 電片，壓電片和負(fù)載電阻R連接，懸臂梁下端設(shè)置有端部磁鐵，懸臂梁的下方設(shè)有2個(gè)外部磁 鐵，外部磁鐵和端部磁鐵配合。
[0095] -種非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法，包括以下步驟：
[0096] 1)根據(jù)哈密頓原理、壓電理論、Rayleigh-RitZ原理、歐拉-伯努利梁理論、電場常 值分布理論和Rayleigh阻尼定理，推導(dǎo)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá) 式：
[0097；
[0098]式（1)中，M為質(zhì)量，Cv為阻尼，K為剛度，Θ為機(jī)電耦合系數(shù)，〇>為電容，R為負(fù)載電阻， F為外部激振力，r(t)是懸臂梁端部位移，v(t)是系統(tǒng)輸出電壓；
[0099] 2)引入磁場力Fm，將磁場力Fm代入式（1)，使得式(1)所表示的線性壓電振動(dòng)能量俘 獲系統(tǒng)成為非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)：
[0100]
[0101] 式(2)中Kr(t)項(xiàng)所表示的線性回復(fù)力和磁場力?"都是和懸臂梁端部位移r(t)有 關(guān)，可以會(huì)你味1並雜柿同官士R·.=^
[0102]
[0103] 3)推導(dǎo)線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程;通過實(shí)驗(yàn)測 得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)，采用PEM模型法辨識(shí)得到線性壓電振動(dòng)能 量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，完成該系統(tǒng)的建模;建立線性壓電振動(dòng)能量俘獲系 統(tǒng)辨識(shí)得到的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程和該系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程的關(guān)系；
[0104] 步驟3)的具體推導(dǎo)過程為：
[0105] 3.1)取狀態(tài)變量χ = [/·(0 /·(/) v(/)_f，輸出變量y = r(t)，將式（1)轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí) 間狀態(tài)空間方程，下標(biāo)1表示線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)：
[0106]
[0107]
[0114] 4)根據(jù)辨識(shí)出線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程求得該系統(tǒng) 頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值并與其理論值對比求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K;
[0115] 步驟4)的具體推導(dǎo)過程為：
[0116] 4.1)由理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程(5)推導(dǎo)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng) 的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值為：
[0117] Ηι(ω)=〇ι(?ω I-Ai)_1Bi (7)
[0118] 當(dāng)《=〇時(shí)式(7)成為：
[0119] Hi(O)=CM-Air1Bi (8)
[0120] 將步驟3)中Αι、Βι和Ci的表達(dá)式代入式(8)得：
[0121]
[0122] 4.2)將式(6)代入式(8)可得到當(dāng)ω=〇時(shí)的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響 應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值：
[0123]
(1,0)
[0124] 對比式(9)和式（10)，便可求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度Κ，具體值見表 1;
[0125] 進(jìn)行特征值、特征向量分解，得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率 ω和阻尼比ξ的理論值;運(yùn)用AjPl l的關(guān)系計(jì)算壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率ω和阻 尼比ξ的辨識(shí)值;通過步驟4)中求出的壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度Κ，可以求出線性壓電 振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量M和阻尼C v;
[0126] 步驟5)的具體推導(dǎo)過程為：
[0127] 5.1)對Ai進(jìn)行特征值、特征向量分解：
[0128] ΑιΦ = λιφ (11)
[0129] 式中:λι是Ai的特征值;Φ是Ai的特征向量，特征值和特征向量的格式為：
[0130]
[0131 ] 式中：A1r為\:的實(shí)部;λπ為\:的虛部;i])iR為屯的實(shí)部;為屯的虛部；
[0132] 5.2)根據(jù)式(6)可以推導(dǎo)出Ai的特征值心和^^的特征值i,的關(guān)系為：
[0133]
[0134] 通過式（13)可以計(jì)算出A1的特征值A(chǔ)1;
[0135] 5.3)由特征值可以求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率ω和阻尼比ξ的 值：
[0136] (14)
[0137]
(15)
[0138] 5.4)固有頻率ω和阻尼比ξ的定義：
[0139] (16)
[0140] Q7)
[0141] 固有頻率ω和阻尼比ξ在5.3)中已經(jīng)計(jì)算出來，又根據(jù)步驟4)計(jì)算出來的線性壓 電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K就可計(jì)算出線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量M和阻尼C v，具 體數(shù)值見表1;
[0142] 6)利用式（1)中第二個(gè)方程來構(gòu)建一個(gè)速度-電壓子系統(tǒng)，推導(dǎo)該子系統(tǒng)理論上的 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，求得該子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值;用PEM模型法辨識(shí)得到該 子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，求得該子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值，對比理論值得 到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)Θ的值；
[0143] 步驟6)的具體推導(dǎo)過程為：
[0144] 6.1)將式(1)的第二個(gè)方程取出作為一個(gè)速度-電壓子系統(tǒng)，并同時(shí)除以Cp得到：
[0145]
[0146] 6.2)取子系統(tǒng)的速度/·⑴為輸入變量，電壓V(t)為輸出變量，將式（18)化為速度-電壓子系統(tǒng)的理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，下標(biāo)s表示速度-電壓子系統(tǒng)：
[0147]
[0148]
[0149] 6.3)從式（19)可以推導(dǎo)出速度-電壓子系統(tǒng)的當(dāng)圓頻率ω = 〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù) 的理論值：
[0150]
[0151] 6.4)然后根據(jù)步驟6.2)中的式（19)輸入、輸出數(shù)據(jù)格式要求，將實(shí)驗(yàn)測得的線性 壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的速度<0作為輸入數(shù)據(jù)、電壓v(t)作為輸出數(shù)據(jù)，采用PEM模型法， 辨識(shí)得到速度-電壓子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：
[0152]
[0153] 式(21)中贏卩、：&^卩^為辨識(shí)得到的速度-電壓子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程 的狀態(tài)矩陣；
[0154] 6.5)由式(21)可以求得速度-電壓子系統(tǒng)的當(dāng)圓頻率ω = 〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的
辨識(shí)值：
[0155] (22)
[0156] 與式(21)對應(yīng)，可求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)Θ，具體數(shù)值見 表1;
[0157] 7)用懸臂梁端部位移r(t)的七階多項(xiàng)式擬合非線性回復(fù)力Fr:
[0158] Fr = p〇+pir(t)+p2r(t)2+. . .+p7r(t)7 (23)
[0159] 式(23)中：ρ〇、ρι···ρ7為多項(xiàng)式系數(shù)；
[0160] 8)由非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)出該系統(tǒng)理論上的連 續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，由此推導(dǎo)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的 理論值;采集非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用PEM法辨識(shí)得到非線 性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，由此計(jì)算得到非線性寬頻壓電振 動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值;對比非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的理論 值和辨識(shí)值，計(jì)算得到擬合非線性回復(fù)力的多項(xiàng)式系數(shù)，從而得到非線性回復(fù)力的值；
[0161 ]步驟8)的具體推導(dǎo)過程為：
[0162] 8.1)將非線性回復(fù)力作為非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入，把式(3)中 的Fr移至等式右側(cè)，并將式(23)代入式(3)可以得到：
[0166] 8.3)取輸入變量為11(3=|^-1-1'(1:)-_-1'7(1:)]，輸出變量為7 (3=[1'(1:)￥(1:)]為輸 出，取狀態(tài)變量為Xb =fKOv(i)f，下標(biāo)e表示非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)，由 此將式(14)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程：
[0169] 8.4)由式(26)計(jì)算非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的當(dāng)ω=〇時(shí)的頻率響應(yīng)函 數(shù)的理論值為：
[0167]
[0168]
[0170]
[0171] 8.5)對于非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測得該系統(tǒng)輸入輸出數(shù) 據(jù)，以式(26)要求的數(shù)據(jù)格式采用PEM模型法辨識(shí)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng) 的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：
[0172]
[0173] 、氣和<^是通過辨識(shí)得到寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間 方程的狀態(tài)矩陣，辨識(shí)得到的寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸出和該系統(tǒng)的真實(shí)輸出的對 比，如圖2所示，從圖中可以看出擬合精度高達(dá)85%以上，說明了該辨識(shí)方法的準(zhǔn)確性；
[0174] 8.6)通過辨識(shí)得到的離散狀態(tài)空間方程計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲 系統(tǒng)的^ 1^、= =n R計(jì)的揣?志α?命涵撒的(61料只值;：
[0175] (29)
[0176] 與式(27)對應(yīng)，能夠求出擬合非線性回復(fù)力的多項(xiàng)式的系數(shù)?〇、？1"_?7，將其代入 式(23)可計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的非線性回復(fù)力，如圖3所示，從圖中 可以看出非線性回復(fù)力的辨識(shí)值和實(shí)測值相似度極高，滿足一般仿真和計(jì)算需要；
[0177] 9)通過步驟3)、4)給出了線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼和機(jī)電耦 合系數(shù)，由于磁場力的引入對這些參數(shù)影響不大，可以將這些參數(shù)作為對應(yīng)的非線性寬頻 壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù);結(jié)合步驟5)給出了非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng) 的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程和非線性回復(fù)力，完成了對非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的 建模及參數(shù)辨識(shí)。
[0178] 表1各參數(shù)辨識(shí)值
L0180」上述結(jié)果表明，本友明提出的建模和參數(shù)辨識(shí)萬法扣以準(zhǔn)確描述非線性寬頻帶壓 電能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并能準(zhǔn)確的計(jì)算出理論模型中的各項(xiàng)難于計(jì)算的參數(shù)以及 非線性回復(fù)力的值。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種非線性寬頻壓電能量俘獲系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)的方法，其特征在于，包括以下 步驟： 1) 根據(jù)哈密頓原理、壓電理論、Rayleigh-Ritz原理、歐拉-伯努利梁理論、電場常值分 布理論和Rayleigh阻尼定理，推導(dǎo)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式：式（1)中，M為質(zhì)量，Cv為阻尼，K為剛度，0為機(jī)電耦合系數(shù)，〇>為電容，R為負(fù)載電阻，F(xiàn)為 外部激振力，r(t)是懸臂梁端部位移，v(t)是系統(tǒng)輸出電壓； 2) 引入磁場力Fm，將磁場力Fm代入式（1)，使得式（1)所表示的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系 統(tǒng)成為非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)：式⑵中Kr(t)項(xiàng)所表示的線性回復(fù)力和磁場力Fm合并為非線性回復(fù)力Fr，式(2)成為：3) 推導(dǎo)線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程;通過實(shí)驗(yàn)測得線 性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)，采用PEM模型法辨識(shí)得到線性壓電振動(dòng)能量俘 獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，完成該系統(tǒng)的建模;建立線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)辨 識(shí)得到的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程和該系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程的關(guān)系； 步驟3)的具體推導(dǎo)過程為： 3.1) 取狀態(tài)變量x =卜⑴階）t(/)y，輸出變量y = r(t)，將式（1)轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí)間狀 態(tài)空間方程，下標(biāo)1表示線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)：3.2) 然后根據(jù)式(4)的輸入輸出數(shù)據(jù)格式要求，將實(shí)驗(yàn)測得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系 統(tǒng)的外部激振力F作為輸入數(shù)據(jù)、以懸臂梁端部位移r(t)和電壓v(t)為輸出數(shù)據(jù)，采用PEM 模型法，辨識(shí)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：式(5)中又,、&為辨識(shí)得到的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間 方程的狀態(tài)矩陣； 3.3)線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)矩陣和離散時(shí)間系統(tǒng)矩陣以及連續(xù) 時(shí)間控制矩陣和離散時(shí)間控制矩陣的關(guān)系為：式(6)中，e是自然對數(shù)；A t是采樣時(shí)間；I是單位矩陣； 4) 根據(jù)辨識(shí)出線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程求得該系統(tǒng)頻率 響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值并與其理論值對比求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K; 步驟4)的具體推導(dǎo)過程為： 4.1) 由理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程(5)推導(dǎo)得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻 率響應(yīng)函數(shù)的理論值為： Hi(?)=Ci(i?I-Ai)-% (7) 當(dāng)《 =0時(shí)式(7)成為： Hi(0)=Ci(-Ai)-% (8) 將步驟(3)中M的表達(dá)式代入式(8)得：4.2) 將式(6)代入式(8)得到當(dāng)《=〇時(shí)的線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) 的辨識(shí)值： (10) 對比式(9)和式(10)，便求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K; 5) 對&進(jìn)行特征值、特征向量分解，得到線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率co和阻 尼比I的理論值;運(yùn)用&和&的關(guān)系計(jì)算壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率《和阻尼比|的 辨識(shí)值;通過步驟4)步中求出的壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K，能夠求出線性壓電振動(dòng)能 量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量M和阻尼C v; 步驟5)的具體推導(dǎo)過程為： 5.1) 對Ai進(jìn)行特征值、特征向量分解： Aiit =入戍(11) 式中Ai是Ai的特征值;也是Ai的特征向量，特征值和特征向量的格式為：式中Air為h的實(shí)部;hi為h的虛部;i^r為隊(duì)的實(shí)部;屯1為隊(duì)的虛部； 5.2) 根據(jù)式(6)推導(dǎo)出&的特征值心和人的特征值爲(wèi)的關(guān)系為：通過式(13)計(jì)算出Ai的特征值A(chǔ)i; 5.3) 由特征值求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的固有頻率co和阻尼比|的值：5.4) 固有頻率co和阻尼比|的定義：固有頻率《和阻尼比|在步驟5.3)中已經(jīng)計(jì)算出來，又根據(jù)步驟4)計(jì)算出來的線性壓 電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的剛度K就能夠計(jì)算出線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量M和阻尼Cv; 6)利用式（1)中第二個(gè)方程來構(gòu)建一個(gè)速度-電壓子系統(tǒng)，推導(dǎo)該子系統(tǒng)理論上的連續(xù) 時(shí)間狀態(tài)空間方程，求得該子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值;用PEM模型法辨識(shí)得到該子系 統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，求得該子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值，對比理論值得到線 性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)的值； 步驟6)的具體推導(dǎo)過程為： 6.1) 將式(1)的第二個(gè)方程取出作為一個(gè)速度-電壓子系統(tǒng)，并同時(shí)除以CP得到：6.2) 取子系統(tǒng)的速度6的為輸入變量，電壓v(t)為輸出變量，將式（18)化為速度-電壓 子系統(tǒng)的理論上的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，下標(biāo)s表示速度-電壓子系統(tǒng)：6.3) 從式(19)推導(dǎo)出速度-電壓子系統(tǒng)的當(dāng)圓頻率《= 0時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論值： Hs(O)=Cs(-As)_1Bs = -R0 (20) 6.4) 然后根據(jù)步驟6.2)中的式（19)輸入、輸出數(shù)據(jù)格式要求，將實(shí)驗(yàn)測得的線性壓電 振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的速度纟(0作為輸入數(shù)據(jù)、電壓v(t)作為輸出數(shù)據(jù)，采用PEM模型法，辨識(shí) 得到速度-電壓子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：式(21)中As、：民和^,為辨識(shí)得到的速度-電壓子系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程的狀 態(tài)矩陣； 6.5)由式(21)求得速度-電壓子系統(tǒng)的當(dāng)圓頻率co = 〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值： // (〇) = C -I) (22) 與式(20)對應(yīng)，求得線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的機(jī)電耦合系數(shù)； 7) 用懸臂梁端部位移r(t)的多項(xiàng)式擬合非線性回復(fù)力Fr: Fr = p〇+pir(t)+p2r(t)2+. . .+pnr(t)n (23) 式(3)中：p〇、pr"pn為多項(xiàng)式系數(shù)； 8) 由非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)出該系統(tǒng)理論上的連續(xù)時(shí) 間狀態(tài)空間方程，由此推導(dǎo)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的理論 值;采集非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用PEM法辨識(shí)得到非線性寬 頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，由此計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能 量俘獲系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值;對比非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的理論值和 辨識(shí)值，計(jì)算得到擬合非線性回復(fù)力的多項(xiàng)式系數(shù)，從而得到非線性回復(fù)力的值； 步驟8)的具體推導(dǎo)過程為： 8.1) 將非線性回復(fù)力作為非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的輸入，把式(3)中的Fr移 至等式右側(cè)，并將式(23)代入式(3)得到：8.2) 在辨識(shí)過程中，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偽線性剛度Kf，使得(24)成為：8.3) 取輸入變量為11(5=|^-1-1'(1:)~-；1^(1:)]，輸出變量為7(5=[1'(1:)￥(1:)]為輸 出，取狀態(tài)變量為X,,=卜⑴〖_(/) ，下標(biāo)e表示非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)，由 此將式(14)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程：8.4) 由式(26)計(jì)算非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的當(dāng)co =〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的 理論值為：8.5) 對于非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測得該系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)，以 式(26)要求的數(shù)據(jù)格式采用PEM模型法辨識(shí)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散 時(shí)間狀態(tài)空間方程：&、先和<是通過辨識(shí)得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間 方程的狀態(tài)矩陣； 8.6)通過辨識(shí)得到的離散狀態(tài)空間方程計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng) 的當(dāng)0 =〇時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)的辨識(shí)值：與式(27)對應(yīng)，能夠求出擬合非線性回復(fù)力的多項(xiàng)式的系數(shù)pQ、pr"pn，將其代入式(4) 計(jì)算得到非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的非線性回復(fù)力； 9)通過步驟3)、4)給出了線性壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼和機(jī)電耦合系 數(shù)，由于磁場力的引入對這些參數(shù)影響不大，將這些參數(shù)作為對應(yīng)的非線性寬頻壓電振動(dòng) 能量俘獲系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù);結(jié)合步驟5)給出了非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的離散時(shí) 間狀態(tài)空間方程和非線性回復(fù)力，完成了對非線性寬頻壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的建模及參 數(shù)辨識(shí)。
【文檔編號(hào)】H02N2/18GK106055797SQ201610383439
【公開日】2016年10月26日
【申請日】2016年6月1日
【發(fā)明人】曹軍義, 李丹, 蔡云龍
【申請人】西安交通大學(xué)